第三章：圆法的变奏
1921年夏末，他获得一个短暂交流的机会，回到了剑桥。
这里的氛围与哥廷根截然不同。
康河的柔波与国王学院礼拜堂的尖顶依旧，但数学中心的气氛更加凝重，少了几分德式的哲学狂想，多了几分不列颠的经验论与严谨。
在这里，他首接受教于戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德。
如果说哥廷根的希尔伯特和诺特是构筑整个数学宇宙的宏大建筑师，那么哈代与李特尔伍德则是技艺无双的顶级工程师，专门攻克数学世界中那些最坚硬、最具体的堡垒。
他们的“圆法”正是这样一件强大的工程器械。
罗伯特沉浸在他们的工作中，日复一日地研读那些打印稿，上面布满了哈代清晰工整的笔迹和李特尔伍德更加飞散跳跃的注释。
他完全领悟了圆法的力量与优雅：将一个加性数论问题（如华林问题：任意足够大的整数N可否表示为至多s个k次幂之和？
）转化为对单位圆上复积分的研究。
通过巧妙的划分，将单位弧长分为“优弧”（Major Arcs）——靠近有理数点的区域，贡献主项；和“劣弧”（Minor Arcs）——剩余区域，其贡献必须被证明是可忽略的误差项。
然而，在无尽的演算与思考中，一种不满意的种子开始在他心中萌芽。
哈代-李特尔伍德圆法强大，却像一把为通用目的锻造的巨斧。
它能劈开问题，但过程往往显得笨重，留下的“误差项”过于庞大，导致对于许多问题，特别是更高次幂的华林问题，证明中所需的s值（k次幂的个数）远非最优。
它缺乏一种精巧的、针对特定问题结构的细腻触感。
他回到哥廷根后，这种感受愈发强烈。
他与阿克塞尔·托尔维德的讨论依旧密集，但焦点己经转变。
他们不再满足于理解和应用现成的圆法，而是开始追问：能否让它变得更锋利？
那个深夜的“幻象”再次浮现——一个更为精细的框架。
它不再是简单地将圆分割为优弧和劣弧，而是构想了一种“加权”的策略。
想象一下，哈代-李特尔伍德的方法像是在整个圆上均匀地撒网，然后指望在优弧区域能捞到大部分“鱼”（有用的信息）。
而罗伯特的想法是：能否编织一张网眼密度不同的网？
在更有希望的区域投入更多的“注意力”或“权重”，同时用一种更聪明的方式忽略那些产出稀少的区域，从而在整体上获得更精确的捕获量？
这需要一种新的技术来处理指数和（Exponential Sums），即形如：S(alpha) = sum_{n=1}^{N} e(alpha n^k)其中 e( heta) = e^{2pi i heta}，k 是幂次。
哈代-李特尔伍德依赖于对 |S(alpha)| 的平均值估计（如Weyls inequality及其推广）。
但罗伯特首觉感到，平均值可能掩盖了丰富的细节。
他需要更精细的点态估计或某种新型的均值估计。
就在这时，他通过哥廷根和剑桥的渠道，接触到一篇刚刚由年轻的俄罗斯数学家伊万·马特维耶维奇·维诺格拉多夫（Ivan Matveyevich Vinogradov）所写的论文预印本。
这篇论文处理的是素数分布中的三角和估计，其方法之新颖、威力之强劲，立刻吸引了罗伯特的注意。
维诺格拉多夫发展了一套极为精巧的技巧来估计某些特定类型的三角和，其核心在于递归地利用指数和的周期性以及不等式的巧妙叠加。
历史上，维诺格拉多夫的工作要在稍晚几年才趋于成熟，但在这个平行世界的数学宇宙中，这一突破似乎提前萌芽了。
对罗伯特而言，这无异于天启。
维诺格拉多夫的方法正是一把他梦寐以求的、无比锋利的“手术刀”。
他近乎疯狂地投入工作。
他的阁楼书桌被一叠叠草稿纸淹没。
上面写满了密集的符号：他在优化圆法的“筛选”过程。
经典的圆法在处理诸如“表为k次幂之和的表示个数” r_{s,k}(N) 时，会将其表示为：r_{s,k}(N) = int_{0}^{1} (S(alpha))^s e(-Nalpha) dalpha然后处理整个积分。
而罗伯特的想法是引入一个“权函数” omega(alpha)，这个函数在不同的弧段上取值不同，反映了他对那里“产出”的置信度。
他考虑一个加权的表示数：R_{s,k}(N) = int_{0}^{1} omega(alpha) (S(alpha))^s e(-Nalpha) dalpha并通过精心设计 omega(alpha) 和利用维诺格拉多夫的新估计方法，他成功地将积分分解后，在那些传统上被视为“劣弧”但并非毫无贡献的区域，获得了比以往更紧致的上界估计。
这相当于他并没有简单粗暴地抛弃劣弧上的积分，而是用一种更经济的方式“榨取”了其中有价值的信息，同时更有效地抑制了噪音。
这个过程极其繁复，需要对维诺格拉多夫不等式进行多次迭代和巧妙组合，并时刻警惕误差项的累积。
阿克塞尔严谨至极的风格在此发挥了巨大作用。
他不断检验着罗伯特每一个跳跃性的首觉推断，确保其逻辑链条的绝对坚固。
他们常常为一个系数的优化、一个不等式放缩的尺度争得面红耳赤，但最终总能达成一致，将工作推进一步。
经过近一年半的鏖战，1923年初春，论文初稿终于完成。
这篇题为《论圆法之改进及其在华林问题上之应用》的论文，引入了一种新的“加权筛选”技巧，结合了维诺格拉多夫三角和估计的强力工具，显著改进了对于任意k次幂的华林问题中s(k)的上界。
写下最后一个句点的那天下午，罗伯特感到一种前所未有的疲惫与空虚，同时也有巨大的兴奋。
他第一个想到的，不是哈代，不是朗道，也不是身边的阿克塞尔，而是艾琳娜·诺特。
那个用“骨架”和“同调”来挑战他的女孩。
那个认为他的工作是“泥瓦匠垒砌不等式”的抽象精灵。
一种复杂的冲动驱使着他。
他想要向她展示这件作品，这件诞生自她所轻视的“冗繁”计算的结晶，证明解析的力量与深度。
这无疑是一种挑衅。
但同时，他内心深处一个更微弱、更诚实的声音在低语：或许……她能从中看到一些他自己看不到的东西？
一些超越于计算之外的结构性启示？
他几乎是不假思索地工整抄写了一份论文稿，附上一封简短甚至有些生硬的信：“诺特小姐，附上我近期工作之初稿。
此系你所谓‘泥瓦匠’之最新产物，或可一哂。
望不吝赐教。”
然后便将其寄往哥廷根。
接下来的几周是在焦躁的等待中度过的。
他一边修改论文，一边与阿克塞尔准备将其提交给《数学年刊》，一边却无法抑制地去想象艾琳娜收到论文后的反应。
她会嗤之以鼻吗？
会觉得这是一堆无意义的符号堆积吗？
回信终于到了。
是一个薄薄的信封，来自哥廷根。
罗伯特几乎是屏住呼吸拆开它。
里面没有他预想中的长篇大论，没有对他计算细节的评论，甚至没有一句客套的恭维。
只有一张纸，上面画着一个奇怪的图表。
那是一个由点、圆圈和箭头构成的示意图，看起来既不像数学公式，也不像任何他所知的几何图形。
它似乎是一个三层结构：最底层是一系列散点，标注着“整数集”、“k次幂序列”。
中间一层是几个圆圈，由箭头从下层指向它们，圈内写着“筛选权重 omega_i”、“同调类？”
（后面打着一个问号）。
最上层是一个更大的圈，标注着“表示数 r_{s,k}(N)”，由中层的圆圈通过箭头指向它，这些箭头上标着“边缘同态？”
“边界算子 partial？”
（同样带着问号）。
在图的下方，艾琳娜用她飞快的笔迹写着一行德文：“你的‘加权筛选’，是否可视作对底层代数结构（如k次幂生成的乘法半群）的一种‘过滤’（Filtration）？
不同的权重 omega_i 是否对应了不同的‘过滤层次’？
而最终积分得到的表示数，是否是这个过滤链的某种‘同调群’的维数，或者其‘欧拉示性数’的体现？
——或许你的计算，在无意中触及了某种更深层的同调结构？”
罗伯特拿着这张纸，僵在了原地。
他完全看不懂。
“过滤”？
“同调群”？
“欧拉示性数”？
这些词对他来说如同天书。
图表中的箭头和问号，在他眼里如同巫师的符文，神秘却无法理解。
他感到一阵沮丧，甚至有些恼怒。
他给她寄去了他心血结晶的、每一步都经过严密推导的论文，她却回给他一张不知所云的涂鸦和一堆玄乎的概念？
他几乎要将纸揉成一团。
但……他没有。
一种更强大的好奇心压倒了他的不快。
他再次凝视那张图表。
尽管他完全不能理解那些术语，但他奇异般地、首觉性地捕捉到了艾琳娜想要表达的核心隐喻！
她不是在评论他的计算，而是在尝试为他的计算寻找一个“结构性的解释”。
她将他对单位圆弧的人为划分和权重分配，看作是对某种隐藏的数学对象进行“分层”和“过滤”。
她将他最终得到的表示数 r_{s,k}(N)，不再是看作一个孤立的计算结果，而是看作这个分层结构最终呈现出的某种“整体拓扑不变量”（比如欧拉示性数，虽然他不完全懂，但知道那是刻画形状的一个数）！
这个视角是如此奇异，如此陌生，却又如此地……具有启发性。
它仿佛在他的工作上空打开了一个天窗，让他从一个从未想象过的角度俯瞰自己的成果。
他的加权筛选，不再仅仅是一套为了优化上界而设计的技巧，而可能是一个更宏大、更抽象的数学结构在解析数论中的具体体现。
他看不懂她的语言，但他感受到了她思维的轨迹和力量。
她试图用“关系骨架”的理解方式，来拥抱他“血肉计算”的产物。
这种尝试本身，这种跨越巨大鸿沟的理解欲，让罗伯特感到一种强烈的智力上的震撼。
她并没有屈服于他的领域，也没有简单地否定它，而是试图用她自己的武器——抽象结构和关系——来解构它、重组它，并寻找其内在的、更本质的和谐。
他小心翼翼地将那张纸抚平，夹在自己的笔记里。
那一个个问号，像一把把钥匙，虽然他还不知道能打开哪扇门，但他确信，它们指向某个重要的方向。
他提笔想回信，却发现不知该写什么。
感谢？
她什么都没评价。
提问？
他连问题都问不出来。
最终，他只是将论文的最终版又寄了一份给她，附言只有简单的一句：“图己收到，虽未尽解，然深具启发。
致谢。
R.C.”寄出信后，他望向窗外。
哥廷根的春天又一次来临。
他的工作取得了坚实的进展，但他感到，一个远比华林问题更宏大、更深邃的谜题，刚刚在他面前展开。
而这个谜题的出题人，是那个远在哥廷根、思维如同异世界星辰般闪烁的艾琳娜·诺特。